成大研發快訊 - 文摘【第四卷第三期】

由於碳微管具有獨特的電子及力學性質，它有很高的潛力成為下一世紀的奈米電子元件材料。單管(m,n)

碳微管是金屬或半導體，主要取決於半徑及旋度。雙管碳微管是多管碳微管中最簡單的一種。此論文集中於詳細討論雙管手椅狀碳微管的電子激發性質。最特別地，此理論計算同時考慮不同管間的原子軌域偶合及庫侖交互作用。低能的電子結構及費米能附近的自由載子分佈，是由雙管碳微管的幾何對稱性所決定。這些能帶的主要特徵會直接反應於單粒子激發與集體激發。

相稱的雙管手椅狀碳微管，(5,5)-(10,10)，有C₅、D_5h、S₅三種對稱結構（如圖1(b)-(d)）。每個最簡晶胞包含有四個內管碳原子及八個外碳原子。

電子結構是由垂直於微管表面的2p_z所組成。於緊束模型下的漢米爾頓矩陣為

(1)

(

) 是第l管微管第i個原子的產生（湮滅）算符。方程式(1)的第一項及第二項分別對應於同管間及不同管間的原子軌域偶合。它們皆包含

鍵結(

=-2.66 eV=γ_o)及σ鍵結(V_ppσ=6.38 eV)。曲度效應所造成2p_z軌域的非等方性，亦將使得原子軌域偶合強度

依兩軌域間的角度

而變化。隨著原子間距離

的增加，不同管間的軌域偶合強度會以指數形式快速減弱。藉由對照第一原理計算及實驗數據可得到參數：W=1/8與

=0.45 Å。對角化1212的漢米爾頓矩陣，可以得到電子狀態能量

及波函數

。n代表能帶指標，j量子化角動量，和k管軸方向動量。此波函數是12個緊束波函數

所疊加而成。

圖一、三種雙管手椅狀碳微管(5,5)-(10,10)的低能電子結構:(b)C₅，(c)D_5h；(d)S₅。(a)為沒有管與管交互作用的能帶。

在未考慮管與管間軌域偶合的

電子結構中，有兩對的線性能帶交叉在費米能階，如圖一(a)。佔據的價帶對稱於非佔據的導帶。圖一(b)-(d)標示出不同管間的交互作用及幾何對稱結構對能帶的影響。能帶不再是上下對稱。在C₅及D_5h系統中能帶色散關係依然是線性的，而在S₅系統中則變成有邊界態的拋物線能帶。C₅及D_5h兩者皆為無能隙的金屬，而S₅則是微小能隙的半導體（E_g3.2 meV）。明顯地，不同管原子軌域偶合相當程度地改變電子激發頻率及載子分佈。他們也導致內外管的緊束波函數強烈的混合，尤其是愈靠近費米動量的狀態。因此，不同管間的載子穿隧效應，會於電子激發能譜上扮演重要的角色。

雙管碳微管在受到隨時變的庫侖外場

微擾下，所有

電子會藉由電子─電子交互作用來遮蔽外加場，同時伴隨著轉換動量q及轉換角動量L。在RPA的近似之下，在第m管及第m’管上電子所感受到的有效庫侖場，可由Dyson方程式來描述（圖二）：

(2)

=2.4為背景介電常數。此有效庫侖場為外加場及感應庫侖場所貢獻。產生

的遮蔽電荷密度為回應函數及有效庫侖場的乘積。對應於圖二的RPA泡泡，

可表示為

(3)

圖二、在RPA近似下，有效庫侖交互作用的費因曼圖。

為費米狄拉克（Fermi-Dirac）分佈函數。

為起始及最終電子狀態間的激發能量。同管間的極化函數(

，

)及不同管間的極化函數(intertube polarization functions

)分別對應於同管間及不同管間激發的電子和電洞。內外管微管間緊束波函數的強烈混合，使得同管及不同管的載子極化有相似反應，但是後者強度較弱。

經由詳細的Born近似計算，可得到非彈性散射機率。此機率可用來定義電子能量損失能譜（electron energy loss spectra）：

(4)

圖三、在不同q及L=0下的電子能量損失函數：(a)無管與管交互作用，(b) C₅，(c)D_5h，與(d) S₅。

分母為兩個碳微管的外加庫侖場之平均。此遮蔽後的回應函數將有利於分析低頻的載子集體激發行為及實驗所量測到的電子能量損失能譜。圖三(a)表示在未考慮交互作用下，在不同轉換動量q’s下的電子能量損失能譜。有兩個顯著的尖峰，每一個皆是來自於兩根碳微管上載子的共同集體振動激發（電漿子）。圖三(b)-三(d)顯示管與管間的原子軌域偶合使得集體激發更加地複雜，主要原因是任意兩條能帶上的

電子皆可以被外加庫侖場所激發。在電子能量損失能譜上展現出更多的電漿子吸收峰，而它們的強度因豐富的單粒子激發（電子─電洞對）而受到壓制。每個電漿模式是由能帶上邊界態（能帶臨界點）的特定激發頻道所決定。因為蘭道衰退（Landau damping）的關係，某些電漿模式會隨著q增加而消失。並且，在三種幾何對稱結構系統，電漿子頻率及強度並沒有簡單的對應關係。

轉換動量q主宰著低頻電漿子的主要特徵。電漿子是量子化的載子集體共振行為。在長波極限下q→0，若它們的頻率為零（有限值)，則它們屬於聲頻（光頻）電漿子。於沒有管與管交互作用的系統有兩個聲頻電漿子，且它們在大q時依然存在（圖四(a)）。不同管間的原子軌域偶合明顯地改變聲頻電漿子，且產生數個光頻電漿子（圖四(b)-四(d)）。而且當q大於臨界動量時，聲頻電漿子會收到嚴重的蘭道衰退而完全消失。S₅系統不會產生聲頻電漿子，這是因為它屬於微小能隙半導體。在這三種對稱結構中，和能帶邊界態相關的單電子激發能量都是有限值，因此大部分的電漿子都是光頻模式。

圖四、轉換動量及電漿子頻率的色散關係：(a)無管與管交互作用，(b) C₅，(c)D_5h，與(d) S₅。

在這份研究中，我們詳細地討論雙管手椅狀碳微管的低頻電子激發性質。計算中同時包含不同管間的原子軌域偶合及庫侖交互作用。前者將明顯地改變低頻的能帶結構，進而豐富了電子激發能譜。能帶與動量間的強烈關係，能帶邊界態，以及能隙主導電子能量損失能譜的主要特徵。管與管間的軌域偶合引發更多的單電子激發頻道及電漿子模式，主要是和費米動量狀態或者邊界態有關。電漿子會因不同管間的載子穿隧而減弱。電漿子的數目、頻率、強度以及與轉換動量間的色散關係亦取決於雙管碳微管的幾何對稱結構。載子的集體振動大多都屬於光頻電漿子，而非聲頻電漿子。電子能量損失能譜的實驗量測結果可用來判定雙管碳微管的幾何結構。